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Quelles sont les fonction continue?
Les fonctions continues sont les fonctions dont le graphe « se trace sans lever le crayon ». Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Comment prouver qu’une fonction est continue?
La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu’il existe une limite de f en ce point.
Comment montrer qu’une fonction à plusieurs variables est continue?
Montrer que toute norme sur Rn définit une fonction continue de Rn dans R. p est un R-espace vectoriel). Si Rp = R, alors fg est continue sur D. Si de plus g ne s’annule pas sur D, alors f/g est continue.
Comment montrer que la dérivée est continue?
Si la fonction f est continue sur I et si fs est continue en a alors f est dérivable en a. Pour une fonction continue sur I, l’existence d’une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l’existence d’une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante.
Comment montrer que f est uniformément continue?
4)-En déduire que si f n’est pas uniformément continue sur [a, b], il existe α ∈ [a, b] tel que f n’est pas continue en α. ε0 > 0, ∀δ > 0, ∃(xδ,yδ) ∈ [a, b]2 t.q |xδ − yδ| < δ et |f(xδ) − f(yδ)| ≥ ε0. . ∃ε0 > 0, ∀n ∈ N, ∃(xn,yn) ∈ [a, b]2 t.q |xn − yn| < 1 n + 1 et ∣∣f(xn)−f(yn) ∣ ∣ ≥ ε0.
Comment montrer qu’une fonction lipschitzienne est continue?
f : (X, d) → (Y,D) est k-lipschitzienne si D(f(x),f(y)) ≤ kd(x, y),∀x, y ∈ X. f est lipschitzienne s’il existe un k > 0 tel que f soit k-lipschitzienne. Une fonction lipschitzienne est continue. En effet, étant donnés un a ∈ X et un ϵ > 0, on peut prendre δ = ϵ/K.
Comment Etudier la continuité sur un intervalle?
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R et g une fonction définie sur un intervalle J de R à valeurs dans K = R ou C telles que f(I) ⊂ J. Si f est continue sur I et g est continue sur J, alors g ◦ f est continue sur I.