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Quand utiliser intégration par substitution?
L’intégration par substitution découle de la r`egle de la dérivée de la composée de deux fonctions. Soit G une primitive de g. Dans l’intégration par changement de variable, on effectue une intégration par substitution “`a l’envers”, puis on revient `a la variable originelle au moyen de la fonction réciproque.
Comment on fait les changements de variables?
L’intégrale simple
- Changement de variable. Dans le calcul de F ( x ) = ∫ f ( x ) d x si l’élément différentiel f ( x ) d x peut se mettre sous la forme g [ Ψ ( x ) ] Ψ ′ ( x ) d x , alors en posant.
- Changement de variable.
Pourquoi faire un changement de variable?
Cette méthode permet de trouver les primitives d’une fonction composée. Trouver les primitives d’une fonction f, c’est trouver les fonctions F dont la dérivée est f. Parfois c’est immédiat.
Comment faire un changement de variable affiné?
La fonction affine u est croissante ou décroissante sur K, alors : Pour t dans K, t étant entre α et β , u(t) est entre u(α) = cα+d=a et u(β )= cβ+d=b. [a, b] est aussi inclus dans I, alors u(t)= ct+d est dans I pour tout t de [α, β]= K . composée ) de G'(t)=u'(t)F'(u(t)) où F’=f.
Comment justifier un changement de variable?
Cas où le changement de variables est évident a b h ( x ) dx = a b ( f ∘ φ ) ( x ) φ ′ ( x ) dx , on fait alors le changement de variable u = φ ( x ) : On applique à la fonction f le théorème. φ ( a ) et φ ( b ) . On obtient ainsi une nouvelle intégrale φ ( a ) φ ( b ) f ( u ) du égale à l’intégrale a b h ( x ) dx .
Comment changer les bornes d’une somme?
Définition 1.3 (Changement d’indice) : Pour effectuer un changement d’indice, il faut essentiellement que l’on somme toujours les même éléments, i.e. si on passe d’un indice i `a un indice j, il faut {ai,i ∈ I} = {aj,j ∈ J}. Un changement d’indice est donc essentiellement une renumérotation des termes de la somme.
Comment transformer la fonction à intégrer?
Il est encore inutile de transformer la fonction à intégrer, de partir dans un changement de variable, de tenter une intégration par parties ou autre, dans tous les cas on tournerait en rond. Pour ne pas tourner en rond il suffit de remarquer que la fonction à intégrer est encore de la forme suivante :
Est-ce que l’intégrale est négative?
Une autre propriété à savoir : l’intégrale d’une fonction positive est positive : Du coup attention !! Si f est négative, l’intégrale sera négative ! Mais on a dit que l’aire sous la courbe, c’était l’intégrale, or une aire n’est jamais négative… Alors on fait comment? Et bien on met un moins devant Par exemple cette fonction :
Quel est le rôle de l’intégration DX?
Avec le changement de variable, l’élément différentiel de l’intégrale (le fameux « dx ») va enfin prendre un rôle et une importance. En effet, dans toutes les autres techniques d’intégration le dx ne sert à rien et peut être totalement ignoré.
Quelle est la signification des intégrales?
Comme on l’a vu, les intégrales servent à calculer l’aire sous la courbe d’une fonction. Cette aire a parfois une signification physique, notamment en thermodynamique. En physique, les intégrales servent également à calculer certaines grandeurs sur des espaces ou des temps donnés.