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Est-ce que R2 est compact?
Définition X ⊂ Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu’il existe R > 0 tel que X ⊂ B(0 , R)). {(x, y) /x2 + (y − 2)2 ≤ 6} est un compact de R2.
Est-ce que R est un compact?
La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l’analyse moderne. Ainsi ℝ n’est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée.
Comment trouver Ladhérence d’un ensemble?
Pour tout couple d’ensembles A,B on a ¯A∪B=¯A∪¯B.
- Dans un espace métrique (E,d), pour qu’un point x soit adhérent à A il faut et il suffit que d(x,A)=0.
- L’adhérence d’un ensemble A est l’intersection des voisinages Vr(A) de A.
Pourquoi R est complet?
Il faut prouver qu’une suite de Cauchy converge. Soit a_n une suite de Cauchy dans R. On voit facilement qu’elle est bornée. Avec cette définition, R est automatiquement complet.
Comment montrer qu’un espace n’est pas complet?
Pour démontrer qu’un espace vectoriel normé E n’est un espace de Banach, ou qu’un espace métrique n’est pas complet, on peut construire une suite (xn) de Cauchy de E et démontrer qu’elle n’est pas convergente.
Comment calculer l’adhérence d’une fonction?
L’adhérence de X est égale à l’ensemble des points qui lui sont adhérents. En effet, un point de E est non adhérent à X si et seulement s’il appartient à un ouvert disjoint de X i.e. inclus dans le complémentaire E\X de X, ou encore au plus grand d’entre eux : l’intérieur de E\X, c’est-à-dire à E\X.
Est-ce que toute partie d’un espace compact est compacte?
Toute partie fermée d’un espace compact est compacte. Preuve : montrons que plus généralement, toute partie fermée d’un espace quasi-compact est quasi-compacte, pour la topologie induite (l’énoncé ci-dessus s’en déduit en remarquant que toute partie d’un espace séparé est encore séparée).
Que signifie la notion de partie compacte?
En ce sens, la notion de « partie compacte » (d’un espace topologique) diffère fondamentalement de celle, par exemple, de « partie fermée ». Un espace topologique E est dit quasi-compact s’il vérifie l’ axiome de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Quels sont les compacts des nombres réels?
Les compacts de l’ensemble des nombres réels, muni de sa topologie usuelle, sont les fermés bornés. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Borel-Lebesgue. Le produit cartésien de compacts, munis de la topologie produit est compact.
Que signifie une partie compacte d’un espace séparé?
Toute partie compacte d’un espace séparé est fermée. Toute partie fermée d’un espace (quasi-)compact est (quasi-)compacte. On déduit facilement des deux propriétés précédentes que dans un espace séparé, toute intersection d’une famille non vide de compacts est compacte.